积分变换中Fourier变换概念引入的教学探讨

Exporation on Teaching Method of the Introduction on the

Fourier Transform in the Course of Integra Transform

ZHANG Tong

（Schoo of Mathematics & information Science， He'nan Poytechnic University， JiaoZuo， He'nan 454000）

随着大学生学习高等数学课程数目的增加，以及高等数学知识体系的深入，很多学生对高等数学课程产生了抵触心理。 因此，结合学生已经掌握的知识，引入新的概念，对于激发学生学习的积极性和缓解畏惧抵触心理具有很大的作用。下面笔者仅从Fourier变换概念的引入出发，谈一下自己在教学过程中的几点体会。

1 克服畏惧心理建立学习的信心

和高中不同，大学数学课程更强调严谨的逻辑性、推理性以及知识前后的联系性。 这使得很多在高中时习惯于题海战术的同学学习起来比较吃力，久而久之产生了畏惧心理，形成了高等数学课程不好学，也学不好的错误认识，这种错误的认识也会影响大学阶段其他课程的学习。 大部分学生都很重视后期专业课的学习，但由于前期高等数学基础太差，专业课老师对出现的高等数学知识点也仅是点到为止，这就使学生的学习成为无根之木，难以持久。因此我们首先从思想上转变学生对数学课程的错误认识，树立积极向上的学习态度。

纵观高等数学课程的教材，虽然版本五花八门，但内容大同小异。 考虑到不同专业及后期专业课对高等数学知识需求量的不同，很多教材在选取内容和难易程度视不同的对象而有所取舍和简化。如高等教育出版社出版，祝同江主编的积分变换中函数只给出了它的一个描述性定义，这与它的数学定义相比简单直观得多。 但考虑到学生的专业需求和实际应用背景，这样的描述性定义已经足够了。所以学生只要认真去听、去理解，还是很容易理解和接受新的内容的。

2 深入浅出，从已知学习未知

积分变换课程主要讲述两种变换：Fourier变换和Lapace变换。对于变换的思想，大多数学生在高中阶段就已经接触过。 如坐标变换：（）→（）即从直角坐标系变换为极坐标系，又如平移变换：考察 + = 1的性质可以将其看成在（1，1）点的单位元。 在复变函数课程的学习时，学生也接触过变换的思想：从（）坐标面变换为（）坐标面。 从而我们可用图1来表示变换的思想。

图1

从图1可以看出，无论哪种变换，都是将一个函数变为另一个函数，然后又通过相应的逆变换得到原来函数的形式。所以变换是我们考察或化简问题的核心。 那么积分变换是什么呢？无非就是通过一个积分的形式使之发生改变。

3 Fourier变换概念的引入

在高等数学中学生学过任意的以为周期的函数 （）都可以展成Fourier级数，即：

（）= + （ + ）

其中系数：

= （）， = （）

由Euer公式可知

= ， = 。

从而 （）的Fourier级数可以由三角形式转化为指数形式

（）= + （ + ）

记 = 那么我们有下式成立

从而

从上述等式可以看到，具有周期为的函数 （）先乘以在（）积分后，再乘以，关于从到求和即可得到函数 （）。对于非周期函数如何考察呢？

首先我们将非周期函数看作整个数轴为一个周期的函数，即周期 = ！由前面 = 可知 = 。即 = 从而

由上述推导可以看出对于任意的可积函数 （）先乘以在（，）上积分然后再乘以在（，）上积分，最后除以2即可得到原函数 （），这样我们就得到了一般函数的Fourier变换。实践证明，由上述方式引入Fourier积分变换和逆变换的定义，学生容易理解和接受，并且可以使同学们回顾高等数学的三角级数内容，达到一箭双雕的效果。

[1]西安交通大学高等数学教研室. 复变函数[I]. 北京.高等教育出版社.1996.

[2]祝同江. 积分变换[ID. 北京.高等教育出版社.2001.