柱面坐标计算三重积分的教学建议

高等数学是高等院校理工科专业必修的且最重要的基础课程之一，也是培养学生能力和提高学生素质的一门重要学科。它不但为学生学习后续数学课、专业基础课以及专业课提供必要的数学知识和方法，而且更重要的是通过高等数学学习来训练学生的数学思维能力，提高学生的数学修养，为从事所学专业工作和进行深入的科学研究打下坚实的数学基础。

但是，随着高等教育大众化的进一步深入，学生的整体素质呈现不断下降的趋势，尤其是学生的数学水平参差不齐，再加上个人对数学学习兴趣的差异以及学风的日益不佳，导致了大量的学生考试成绩不及格。

另一方面，各大高校都热衷于增加大量的综合素质课程，从而导致了高等数学课程课时的不断压缩，但是教学内容并未减少。这样就更加剧了学生学习高等数学的难度。因此，在日常的教学中，教师应当尽量减少可以减少的教学内容。

重积分的计算是高等数学学习中的难点之一。重积分一般包括二重积分和三重积分。二重积分的常用计算方法有直角坐标法和极坐标法。直角坐标法适合积分区域为X-型的或者Y-型的，它将一个二重积分转化为先对y后对x或者先对x后对y的两次定积分。极坐标法适合积分区域与圆有关的二重积分，它将一个二重积分转化为先对极径后对极角的两次定积分。

计算三重积分的常用方法有直角坐标法、柱面坐标法和球面坐标法（参见文献）。根据积分区域的特点选择合适的坐标法是计算三重积分的关键。球面坐标法适合积分区域与球面有关的三重积分。直角坐标法把三重积分转化为先定积分后二重积分（又叫“先一后二”法、投影法）或先二重积分后定积分（又叫“先二后一”法、截面法）。无论是投影法还是截面法，都要计算一个二重积分，而柱面坐标法的本质是将其中的二重积分用极坐标来计算。

上式显然与直接用极坐标计算对x，y的二重积分得到的形式一样。

从上面的两个例子可以看出，只要学生掌握了三重积分的直角坐标法与二重积分的极坐标法，三重积分的柱面坐标法完全可以不必学习。因此，从节省课时和减轻学生负担的角度来说，教师不必在教学中介绍利用柱面坐标计算三重积分这仲方法。

[1]赵烘牛.万彩云.胡国雷.王友国. 高等数学[J]. 天津. 畜牧等教育出版社, 2023.