关于卷积计算教学中的一点看法

在物理学中，傅里叶变换是数字信号处理领域的一种重要工具。它将难以分析和处理的时域信号转化为易于分析和处理的频域信号。从现代数学意义上讲，它是一种的特殊的积分变换。而卷积是由含参变量的广义积分定义的函数，与傅里叶变换有着密切联系。因此在教学过程中，必然涉及到卷积的计算。本文就从自身的教学体验角度谈谈卷积计算的关键――参数t范围的确定。

一、卷积概念

设函数 与 在 上有定义，则称由含参变量t的广义积分所确定的函数 为函数 与 的卷积，记为 。其中

具体计算表达式为

对卷积的计算，一般教材上都分为三步走：

第一步：对函数 ，只需要将自变量t换为积分变量 ；

第二步：对函数 ，不但要将自变量t换为积分变量 ，同时将 关于纵轴的镜像函数 沿横轴向左或者右平移 个单位，得到 ；

第三步：对任意给定的t值，计算 。

例 设函数 ， ，求 。

解 ，被积函数 只有在

且 时才不为零，即 ，求解得 …………（*）

①当 时，（*）式无解，故 ；

②当 时，（*）式无解，故 ；

③当 时，（*）式有解，且解为 。因此，

④当 时，（*）式有解，且解为 。因此，

从例子中可以看出，卷积的计算关键是确定参数t的范围，然而教材中并未给出参数t的确定方法，那么参数t的范围是如何确定的？这让刚走上教学岗位的教师和学生感到迷失方向。下面给出一种快速确定参数t的范围的方法。

二、轴线移动法

取一数轴，并按题设要求在数轴上标示分段点a，b，并以参数t为轴线。如图1.1所示：

图 1.1 数轴示意图 图 1.2 轴线移动示意图一

图 1.3 轴线移动示意图二 图 1.4 轴线移动示意图三

当 时，则图1.2所示移动轴线，阴影部分表示 时 的积分区域。

当 时，则图1.3所示移动虚线，阴影部分表示 时 的积分区域。

当 时，则图1.4所示移动虚线，阴影部分表示 时 的积分区域。

下面给出轴线移动法计算卷积的步骤：

第一步：对函数 ，只需要将自变量t换为积分变量 ，并在数轴上标示分段点；

第二步：对函数 ，不但要将自变量t换为积分变量 ，同时将

关于纵轴的镜像函数 沿横轴向左或者右平移 个单位，得到 ，

并在数轴上标示分段点和轴线；

第三步：移动轴线，确定参数t的范围，并计算。

三、教学实例

对上例，我们采用轴线移动法求解，就显得通俗易懂了。不妨设阴影部分表示被积函数不恒为零的区域。由卷积的定义，只有两阴影部分重叠时，两函数的卷积不恒为零。

图2. 1 教学实例示意图一 图2. 2 教学实例示意图二

图 2.3 教学实例示意图三 图 2.4 教学实例示意图四

通过移动轴线，可以看到：

①当 时，阴影部分无重叠，如图2.1所示，有；

②当 时，阴影部分无重叠，如图2.4所示，有；

③当 时，阴影部分有重叠，且重叠部分的 的取值为。

如图2.2所示，因此，

④当 时，阴影部分有重叠，且重叠部分的 的取值为

。如图2.3所示，因此，

[1]辜蔚君.关于人力资源数字化转型中数据管理工作的思考[J].厦门科技, 2023(1):43-47.