期权（option）是一种选择权，期权交易实质上是一种权利的买卖。它有两种基本类型买入期权和卖出期权，期权的买方在向卖方支付一定数额的货币后，即拥有在一定的时间内以一定价格向对方购买或出售一定数量的某种商品或有价证券的权利，而不负必须买进或卖出的义务。按期权所包含的选择权的不同，期权可分为看涨期权和看跌期权；看涨期权是买入期权的购买者对行情看涨所作出的决定，看跌期权是当合约到期时，如果该商品或者证?的实际价格低于约定的价格，则卖出期权的持有者有权按合约规定的较高价格卖出该商品或者证?；反之，会放弃这种权利。按期权合约对执行时间的限制，期权可分为欧式期权和美式期权。美式期权可以在期权有效期内任何时候执行，而欧式期权只能在到期日执行，交易所中交易的大多是美式期权。
期权购买者为获得期权合约所赋予的权利，必须向期权出售者支付一定费用。这费用就是期权价格，那么如何确定期权的价格呢？
先给出主要的假设：（1）市场不存在无风险套利机会；（2）没有交易费用和税收； （3）无风险利率r是常数；（4）证?市场交易是连续运作； （5）股价是连续的，即不存在股价跳空； （6）衍生证?有效期内没有红利支付；（7）仅考虑期权为欧式期权； （8）允许使用全部所得卖空衍生证?。
设t为时间，S为t时刻的股票价格，μ为期望收益率，σ为股票价格的标准差，μS表示S期望漂移率，然而实际上股票价格存在波动。可以假设经过短时间dt后，百分比收益率的方差保持不变。σ2为股票价格比例变化的方差率，这样股票价格可以用It?过程表示
dS=μSdt+σSdz （其中z遵循Wiener过程） （1）
记f为期权价格，它依赖于股票价格S和时间t。由It?定理表示
（2）
我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。该投资组合的价值为Π：
（3）
经过dt时间后，证?组合的价值变化dΠ为：
（4）
将（1）、（2）代入（4）可以得到：
（5）
根据价格无风险利率为r：dΠ=rΠdt （6）
由（3）、（5）可以化简得到：
（7）
这就是著名的布莱克――舒尔斯（Back-Schoes）微分分程，它是一个抛物型偏微分方程。为了确定偏微分方程的解，必须给出适当的定解条件。
记期权的到期时间为T，约定价格为X，对于欧式买入期权记其价格为C。如果合约到期时股票价格ST高于X，则期权持有人将以合约规定的价格X购买股票，从而可以获利ST-X。如果合约到期时股票的价格ST低于X，则期权持有人将放弃这种权利，故期权价格为0。
Back-Schoes推导出了看涨期权的定价模型，以股票为基础资产。
对看涨期权而言，其在到期日的价值为：
（8）
通过自变量变换和函数转换，（7）-（8）转化为热传导方程的初值问题，利用热传导方程初值问题求解可以得到欧式买入期权的定价公式为
其中 ：
Φ（x）为标准正态分布函数
随着金融业全球化，金融产品不断创新，数学技术在金融业中的应用也越来越广泛并且越来越受到银行业的重视。对于数学模型的研究已经成为金融学研究中的关键技术之一。因此，数学模型在金融市场中具有广泛的应用前景。