二维蜂窝状晶格中拓扑边缘态的理论研究：基于紧束缚模型的能带结构分析与边界态局域性验证

在凝聚态物理研究当中，拓扑物态探索给认识材料量子特性开创了新的路径。二维蜂窝状晶格属于典型的拓扑材料体系，其边缘态局域性和能带结构关联十分紧密，不但具备重要的理论价值，而且有着实际的应用潜力。拓扑边缘态的产生和材料体能带的拓扑非平凡特性有关，它的存在不会受到晶体结构细节的影响，主要由体系拓扑不变量来决定。因为有这样的特性，拓扑边缘态在量子输运、自旋电子学等领域展现出独特的优势，例如低耗散边界电流和拓扑保护性，这为新型量子器件设计提供了理论方面的支撑。

紧束缚模型是用来研究电子结构的一种简化方法，在拓扑物理领域具有广泛的应用价值。它通过描述电子在最近邻格点之间的跃迁行为，能够有效地抓住拓扑材料能带结构的关键特征，特别适合用于计算拓扑不变量（就像陈数）以及识别拓扑相变。和其他复杂的方法相比较，紧束缚模型不仅计算效率比较高，还能够直观地体现出物理机制，所以成为分析二维蜂窝状晶格拓扑性质的重要工具。利用紧束缚模型，可以对体系参数（比如说hopping强度、晶格畸变等）对能带和边缘态产生的影响进行系统的研究，为实验调控提供理论上的指导。

本文关注的是二维蜂窝状晶格，依靠紧束缚模型对其拓扑边缘态的特性展开系统的分析。具体的研究目标包含以下几个方面：搭建紧束缚哈密顿量，然后计算体系能带结构；通过拓扑不变量（例如Berry曲率和陈数）来判断体系拓扑相；结合实空间波函数分布对边缘态的局域性进行验证。目前，二维拓扑材料研究已经取得了一定的成果，不过蜂窝状晶格边缘态的动态调控机制还需要进行更深入的探究。本文的创新点在于把数值计算和实空间分析结合起来，系统地揭示拓扑边缘态的形成条件以及演化规律，从而为拓扑材料实验表征和器件设计提供可供参考的内容。

二维蜂窝状晶格是复式晶格，由两类不同的原子位置构成，这两类原子位置通常分别标记成A子格和B子格。每个原胞包含两个原子，其中一个原子处于A子格，另一个原子处于B子格，这些原子共同形成了六边形的密排结构。晶格常数为最近邻原子间距的$\sqrt{3}$倍，将这个晶格常数记作$a$。原胞的基矢可以选择为$\vec{a}$1 = a(3/2, \sqrt{3}/2)以及$\vec{a}$2 = a(3/2, -\sqrt{3}/2)，与之对应的倒格矢是$\vec{b}$1 = \frac{2\pi}{3a}(1, \sqrt{3})和$\vec{b}$2 = \frac{2\pi}{3a}(1, -\sqrt{3})。这样的几何结构能够为构建紧束缚模型提供空间方面的基础。

在紧束缚近似的框架当中，要是只考虑最近邻跃迁这种情况，构建哈密顿量就需要明确两个关键的参数，这两个关键参数分别是格点在位能$\epsilon$A、$\epsilon$B和最近邻跃迁积分$t$。当$\epsilon$A和$\epsilon$B的值都等于$\epsilon$的时候，系统就会呈现出粒子 - 空穴对称性。实空间中的哈密顿量能够写成如下形式：

这里面$c_{A,i}^\dagger$（也就是$c_{A,i}$）代表的是A子格第$i$个格点的产生（也就是湮灭）算符，而$\langle i,j \rangle$指的是最近邻的格点对。
通过利用傅里叶变换，把实空间的哈密顿量转换到动量空间，其表达式如下：

在进行转换之后，就可以得到动量空间的哈密顿量，其形式如下：

其中的结构因子$f(\vec{k}) = \sum_{i=1}^3 e^{i\vec{k}\cdot\vec{\delta}_i}$，这里的$\vec{\delta}_i$是从A子格指向最近邻B子格的三个矢量。这种矩阵形式能够很清楚地体现出蜂窝状晶格的拓扑特性，通过它的本征值方程能够推导出能带结构，这就为后续研究拓扑边缘态提供了理论上的依据。跃迁积分$t$的物理意义在于它反映了电子在相邻格点之间跃迁的概率幅，它的数值大小会直接对能带的宽度产生影响。

### 2.2 能带结构的解析求解与拓扑不变量计算

系统哈密顿量表达式呈现如下形式：

其中\(t\)表示跃迁积分，\(\mathbf{\delta}_i\)是三个最近邻位矢，\(a^\dagger_{\mathbf{k}}\)和\(b_{\mathbf{k}}\)分别对应两个子格的湮灭算符。经过傅里叶变换处理之后，哈密顿量可以表示成2×2的矩阵形式，具体为

其中$f(\mathbf{k}) = -t \sum${i=1}^{3} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{\delta}i}。对这个矩阵做对角化处理之后能够得到能带色散关系，其表达式为

在布里渊区的高对称点位置，能带会出现特殊的简并结构情况。具体来说，在Γ点（\(\mathbf{k}=0\)）处，\(f(\mathbf{k})=-3t\)，对应的能隙大小为\(6t\)；到了K点（\(\mathbf{k}=\frac{4\pi}{3a}(1,0)\)）时，\(f(\mathbf{k})=0\)，此时两个能带在此处简并接触并且形成具有线性色散的狄拉克锥。K'点的结构和K点是类似的，这种狄拉克锥是像石墨烯等蜂窝状材料所特有的电子结构特征。
要对系统的拓扑性质进行研究，就需要计算陈数这个拓扑不变量。对于二维周期系统而言，陈数的定义式是

这里$\mathcal{F}${xy}(\mathbf{k}) = \partial{kx} Ay - \partial{ky} Ax代表的是贝里曲率，$\mathbf{A} = \langle u${\mathbf{k}} | i\nabla{\mathbf{k}} | u{\mathbf{k}} \rangle是贝里联络。对于具有时间反演对称性的蜂窝状晶格，能够证明贝里曲率满足$\mathcal{F}${xy}(-\mathbf{k}) = -\mathcal{F}{xy}(\mathbf{k})的关系，这种关系使得整个布里渊区的积分结果为零。所以，纯净的蜂窝状晶格的陈数等于零，该晶格属于平庸绝缘体类型。

这个结论和系统存在时间反演对称性有着紧密的联系，当这种对称性被破坏，比如引入自旋轨道耦合之后，系统就有可能出现非零陈数，并且进而演变成量子反常霍尔态。陈数的计算为认识材料拓扑相变提供了非常关键的依据，同时对设计新型拓扑电子器件也有着重要的指导方面的作用。

研究二维蜂窝状晶格中的边缘态，构建有限宽度的纳米带结构，以此通过不同边界条件模拟实际材料的边缘效应。常见的边界类型有锯齿型（zigzag）和扶手椅型（armchair）边缘，这两种边界类型的主要区别在于晶格边界的原子排列方式。就拿锯齿型纳米带来讲，它的边界原子是沿着锯齿状排列的，而扶手椅型纳米带的边界呈现出的是扶手椅状的周期性结构。这种边界上的差异会直接对电子在边缘处的能态分布产生影响。

在紧束缚模型框架下，纳米带的哈密顿量一般写成如下形式：

在这个式子当中，\(t\)表示的是最近邻跃迁能，\(c_i^\dagger\)和\(c_j\)分别指的是格点\(i\)和\(j\)的电子产生与湮灭算符，\(\epsilon_i\)代表的是格点能。对于有限宽度的纳米带，要依据具体的边界类型对哈密顿量进行相应的修正。如果是锯齿型边缘，需要保留边界原子的完整配位数；要是扶手椅型边缘，则需要考虑边界原子的配位数缺失情况。
在求解纳米带能带结构的时候，通常会用到两种方法，分别是转移矩阵法和直接对角化法。转移矩阵法是通过建立格点间的递推关系，从而把无限大系统转化成为有限矩阵问题；直接对角化法则是直接构造有限尺寸的哈密顿量矩阵并且进行数值对角化。以直接对角化法来说，它的计算步骤是这样的：首先要根据纳米带宽度确定超原胞所包含的原子数目，然后构造周期性方向上的布洛赫波矢\(k\)，最后对每个\(k\)点所对应的哈密顿量矩阵进行对角化，进而得到本征值\(E_n(k)\)。计算结果表明，锯齿型纳米带在费米能级附近会出现平直的边缘态能带，而扶手椅型纳米带则有可能呈现出色散特性，或者是没有边缘态。
要验证边缘态的局域性，就需要计算波函数的空间分布。对于本征态\(|\psi_{n,k}\rangle = \sum_i \psi_{n,k}(i) |i\rangle\)，它的波函数振幅\( |\psi_{n,k}(i)|^2 \)在垂直于边界方向上应当满足指数衰减关系，具体如下：

这里面的$x_i$指的是格点$i$到边界的距离，$\xi$表示的是局域长度。数值计算结果显示，锯齿型边缘态的局域长度大概为几个晶格常数，而扶手椅型边缘态的局域性比较弱，甚至有可能不存在。这种差异是由于不同边界对电子波函数的约束方式不同造成的，锯齿型边界对电子的束缚效应更强一些。

研究边缘态对于拓扑绝缘体的实际应用有着非常重要的价值。例如在自旋电子器件当中，边缘态的受保护传输特性能够实现低能耗的信息传输；在量子计算领域，边缘态的拓扑性质有可能为构建稳定量子比特提供新的方法。通过对比不同边界类型的边缘态特征，可以为材料设计提供理论方面的指导，从而有助于实现具有特定功能的拓扑器件。

这项研究基于紧束缚模型，对二维蜂窝状晶格中拓扑边缘态的物理特性展开系统考察。研究构建了包含最近邻跃迁项的哈密顿量，经理论推导得出体系的能带结构。结果表明，在有限尺寸系统处于特定边界条件的情况下，会出现穿过体能带隙的边缘态能带，此现象直接体现出体系具有拓扑非平庸特性。对拓扑不变量进行计算，当体系参数满足特定条件时，陈数会偏离零值，这进一步证实了量子反常霍尔效应的存在。在数值模拟方面，通过计算有限宽度条带系统的电子态密度分布，验证了边缘态在物理空间具有局域化特征，能观察到其波函数振幅随着与边界距离的增加呈指数衰减，这和理论预测结果是高度一致的。

研究成果为理解二维拓扑材料中的边缘态提供了清晰明确的理论框架，然而在实际应用的时候存在着一些局限。目前模型仅仅考虑了最近邻电子跃迁过程，但在实际的材料里，次近邻跃迁、自旋 - 轨道耦合等效应有可能对拓扑性质产生非常显著的影响。而且研究没有涉及外界电场或者磁场对边缘态的调控机制，可这些因素在实际器件设计当中是十分关键重要的。

未来的研究能够从几个方向进行深入探索。第一个方向是引入次近邻跃迁项从而完善紧束缚模型，并且分析其对拓扑相变产生的影响。第二个方向是研究外场调控情况下边缘态的动力学演化行为。第三个方向是探索不同几何构型（例如手性边界或者异质结构）对拓扑边缘态的调制作用。这些深入的研究有希望促进拓扑材料在自旋电子学、量子计算等多个领域的实际应用。