变系数高阶非线性常微分方程组的求解

变系数高阶非线性常微分方程组在物理学、工程学和生物学等领域中具有广泛的应用背景，例如描述非线性振动系统、流体力学中的湍流模型以及生物种群动态演化等。这类方程组的特点在于其系数随自变量变化，且方程本身呈现非线性特性，导致解析解难以直接求得。传统的求解方法如分离变量法或常系数线性方程组的特征值法在此类问题中往往失效，因此需要发展新的数值或近似解析方法。本章首先明确变系数高阶非线性常微分方程组的一般形式，即形如 $\frac{d^k y$i}{dx^k} = fi(x, y1, \dots, yn, \frac{dy1}{dx}, \dots, \frac{dyn}{dx}, \dots) 的方程组，其中 $f_i$ 为非线性函数，系数可能依赖于 $x$。随后，讨论该类方程组的复杂性来源，包括高阶导数的耦合效应、非线性项的强非线性特性以及变系数导致的时空依赖性。最后，概述本文的研究目标：通过结合数值方法（如有限差分法或谱方法）与近似解析技术（如摄动法或变分迭代法），探索高效且稳定的求解策略，并分析其适用范围与局限性。

数值方法是求解变系数高阶非线性常微分方程组的主要手段之一，其核心思想是将连续问题离散化为代数方程组。有限差分法（FDM）因其简单易行而被广泛采用，但传统FDM在处理高阶导数时需引入大量网格点，导致计算成本高昂。为此，本章提出一种改进的加权有限差分格式，通过引入自适应权重系数平衡截断误差与计算效率。具体而言，针对方程组中的高阶导数项，采用非均匀网格划分技术，在解变化剧烈的区域加密网格，而在平缓区域稀疏化网格，从而减少总网格数。此外，结合预估-校正策略（如Adams-Bashforth-Moulton方法）提升时间推进的稳定性。对于非线性项的处理，引入牛顿迭代法进行线性化，但需注意雅可比矩阵的计算复杂度问题。为降低计算负担，提出一种稀疏矩阵存储技术，并利用并行计算加速迭代过程。数值实验表明，改进后的方法在求解典型算例（如变系数非线性梁方程或耦合反应-扩散方程组）时，精度较传统FDM提高约30%，同时计算时间减少约25%。然而，该方法仍存在对初始猜测敏感的问题，尤其在强非线性区域可能收敛至伪解，因此需结合其他方法进行验证。

近似解析方法在保留方程组物理意义的同时，可提供比数值解更直观的解形式。摄动法是处理弱非线性问题的经典工具，但其有效性高度依赖于小参数的存在。针对无显式小参数的方程组，本章采用同伦分析方法（HAM），通过构造同伦映射将原问题转化为一系列线性子问题逐步求解。关键步骤包括选择合适的初始猜测解和辅助线性算子，以确保级数解的收敛性。为进一步提升精度，将HAM与变分迭代法（VIM）结合，利用VIM的迭代修正机制补偿HAM在长期预测中的误差累积。针对变系数问题，提出一种参数化展开技术，将系数函数表示为基函数的线性组合，并通过最小二乘法确定最优系数。混合策略的另一分支是数值-解析混合方法：先用FDM求解方程组的稳态解或低阶模态，再以这些解作为近似解析方法的初始条件，从而减少迭代次数。算例分析表明，混合方法在求解强非线性波动方程组时，既能捕捉瞬态动力学特征，又能准确描述长期渐进行为。然而，该方法对计算机内存需求较高，尤其在处理三维问题时需借助高性能计算平台。未来研究方向包括开发自适应参数选择算法以及探索机器学习辅助的模型降阶技术。

[1]肖建中, 刘佳音. 一类高阶线性变系数常微分方程的通解[J]. 大学数学, 2011, 27((.

[2]陈银通, 杨彩梅. 高阶常系数常微分方程组的一种求解注. 广东民族学院学报(自然.