构造法在高中数学中的应用

一、求参数范围问题

求参数范围的题目多为不等式、方程、函数等问题。因此，我们可以从这些角度选择适当的构造对象，来完成问题的解决。下面以具体的问题加以说明。

例1。设 、 、 都是实数，且 。求证： 、 、 中必有一个不小于 。

分析：上面式子中， 、 、 三个数地位相同（即 、 、 是对称的），且出现了和、积的形式，二次方程根的判别式也是以和、积的形式呈现的。我们联想到这一点，那么可以构造一个二次方程，用根的判别式来试试。

解：根据已知，有。因此 、 可以看成方程 的两根。于是对于此方程， 。解不等式得， 。由于对称性，可以对 、 进行同样的讨论，所以 、 、 中必有一个不小于 。

通过这个例子我们可以看出，如果题目中包含在着某两个（或两个以上）变量的和、积式，我们可以从构造二次方程（或二次函数）的方向出发，来寻求解决问题的办法。

例2。若方程 在区间 上有唯一解，求 的取值范围。

分析：在区间 中， 原方程可以变形为 ，这个方程可以看做两个函数有公共点来处理。因此，我们想到构造函数来解此问题。

解：构造函数 ，则 的图像是关于 对称且开口向下的抛物线的一部分。 的图像是除去一个端点的一条线段。从图1可以看出，只须分别求出过（0，2）和（2，0）时抛物线所对应的 值即可。它们对应的 值分别是 ，并且抛物线和线段相切时，由

的判别式 得， 。即当 或 时，方程有唯一解。

这个例子是求参数范围问题中的常见题型，我们采取的办法是构造函数，通过函数的图像交点来处理。这是一种值得借鉴的方法。图形应用于代数问题会使问题变得清晰简洁，从而易于解决。

二、求值问题

求值问题通常包括解方程和求某一个表达式的值，这里我们把化简表达式也放进来一起考虑。这类问题涉及到的内容大多是方程，也有部分用到函数，所以构造方向一般就是这两者。具体见下面的例子。

例3。解方程 。

分析：本题是一个三次方程，直接解会相当复杂。进一步观察，发现“ ”在这里似乎有点特殊。因此，我们换个角度，从这个 入手看看。

解：把原方程看做以 为未知数的方程， 作为参数（已知数），那么就出现了一个二次方程 ，解得 ，化简，得： 或 。

解这两个方程，得：

或

从而巧妙地求出了方程的解。

通过这个例子我们得到的启示是：如果一个问题从正面解决比较困难时，不妨换个角度，用一种全新的思路来思考，会找到一个顺利的解题途径。

例4。已知且 求 的值。

分析：这个题目给人的第一印象似乎无从下手，三角式和三次式混合出现，很难找到运算的起点。但是仔细观察已知，两个方程中都含有参数 ，但是要求的目标里面并没有 ，消掉它！看看会有什么效果。

解：根据已知，消去 ，得 ，即

。构造函数 ， 在 是单调递增的奇函数，所以由上式可知， 。即 ，所以 。

通过这个例子我们发现，出现两个形式相似的表达式或方程时，选择构造函数，通过函数的单调性确定变量的相等关系，是一种有效地构造法。这一点在后面的例子里还会得到印证。

例5。若 化简方程

解：构造恒等式 。恒等式两边除以原式

把 代入上式且两边同时除以 得： 。

这个例子正是椭圆的标准方程的推导过程，与课本给出的过程不同，这里借助了平方差公式 构造出恒等式。整个运算过程比课本给出的过程要简便得多（只做了一次平方运算）。（2）式叫做（1）的共轭无理式或者对偶式。构造对偶式也是一种常用的构造法。我们看到，构造法实际上就是把我们常见的只是在恰当的场合做了巧妙地运用。所以它并不神秘。

三、不等式与最值问题

不等式问题是高中数学中非常重要的一类问题。因最值问题也涉及到不等式，所以一并放在这里介绍。不等式问题分为证明不等式和解不等式两类。由于中学数学中与不等式交叉的内容很多，所以不等式能用到的构造法非常多，向量、图形、函数、方程（前文已经见到了）等都可以作为不等式问题的桥梁，我们通过具体例子来探讨。

例6。求证： 。

证明：设 ，首先当 至少有一个为零时， 显然成立；当 都不为零时，因为 ，于是

，即 。

例7。求函数 的值域。

解：原函数可以变形为 ，设 ，因为 ，所以构造向量 ，由 得：

从而 ，当且仅当 。

这两个例子构造对象都是向量，依据都是向量内积不等式 ，这是构造向量解题的一个很重要的依据。从例7可以发现，即使题干里没有明显的提示我们也可以构造出适当的模型来，这正是构造法的强大优势，构造法解题过程中常常表现出“情理之中，意料之外”的特点。对于同一问题，构造方法可能多种多样，比如例6，我们还可以按照如下的方法构造：构造函数 ，显然函数 对于任意 恒成立，所以 的判别式 ，即

。这样，我们用构造函数的办法又一次证明了原不等式，这个不等式是 不等式的二维情形。

例8。设 、 、 均为绝对值不大于 的实数，求证： 。

分析：因为要证不等式 、 、 具有对称性，地位均等，同时考虑不是很容易，所以，取其中一个作为主元，另外两个作为已知数，构造一个函数。

证明：构造函数 ，当 时， 是一次函数， 时， ； 时，

，由一次函数的单调性可知，在任意 ，都有 ，即 。当 时， 恒成立，所以有 ，综上，不等式得证。

当要证明的不等式是三个（或以上）变量的轮换对称式时，可以选择其中一个作为主元，其它的作为已知数，构造函数证明。

分析：不等号左右两边具有相似的形式，可以考虑构造函数利用单调性来证明。

证：观察 、 、 的形式，构造函数 ，问题转化为求 的单调性了。显然 在 是单调增函数。于是因为 ，所以有

虽然题目中给的信息很有规律性，但是直接计算证明会非常麻烦，如果利用构造法通过函数这一桥梁，利用函数的单调性进行适当放缩，问题就变得很明显了。正如前面提到的，对于这种不等号两边具有相似形式的不等式，我们可以构造符合这一形式的函数，把证明不等式转换成证明函数单调性来处理。

求函数值域（或最值）有一种很有效地办法是构造新函数，利用函数图像交点进行处理，下面举例说明。

例10。求 的值域。

解：构造函数 ， ，则 ，且 。所以如图2，求函数 的值域就是求 和 的图像有交点时 的变化范围。从图上可以看出，当 的图像经过 点时在 轴上的截距最大。所以，此时， ，所以，原函数的值域是 。

这个题目可以直接对函数求导数，利用导数也可以得到它的值域。但是计算较复杂。如果分成两个函数，整过过程会非常清晰，计算量也会大大降低。

图形证明是一种非常美的证明方法，这种证明过程有的特别优雅，给人以美的享受。在数学史上它是中国数学和印度数学的典型标志。

于是 。过 作圆O的切线切点为C，则 ，在 中， ，即 ，于是 。根据图中近乎显然的关系： ，不等式马上得证。

这个不等式是各种平均值的不等式链，关于这个不等式链有很多种图形证明，把不等式链中的四个元素表示在同一个图形里面直观、漂亮。

下面再给出前面例6的一种图形证明方法：构造如图4所示的直角梯形 ， 为 上一点，且 ，则 ， 。

设 ，那么 ， ， ， 。又因为 ，带入整理可得。

四、排列、组合、二项式问题

例12。7名同学站成一排，甲、乙、丙三人必须相邻的排法总数?

解：将7个人看成7个元素，由于三个元素必须相邻，因此问题可抽象成5个元素的一个排列。即将这3个特殊的元素“捆绑”成一个，而这3个元素之间的排列顺序是任意的。所以共有 种不同的排法。

构造“捆绑模型”是一种解决“必须相邻”问题的有效方法。值得重视。

例13。现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少一个球，问共有多少种不同的分法?

解：题目中球的分法共三类：

（1） 有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球，其分法种数是 ；

（2） 有一个班分到3个球，有一个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球，其分法种数是 ；

（3） 有一个班分到4个球，其余6个班每班分到1个球，其分法种数是 ；

所以10个球按题意分法种数为 种。

由上面解题过程可以明显感到，这类问题进行分类计算比较烦琐，若上题中球的数目较多，处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式来解决该类问题，由此我们创设这样一种虚拟的情境――插板。

将10个相同的球排成一行，10个球之间出现9个空档（除去首尾两个空档），现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个)。这样每个班级分到球的个数不在于它们所排的位置，借助于这样一种虚拟的“档板”分配物品的方法称之为“插板法”。

由上述情境分析可知，分球的方法实际便是为档板的插法:即在9个空档之中插入6个“档板”，其方法种数为 简洁明了。

例14。解不定方程 的正整数解的组数。

分析：此题用列举法求解比较困难，而用上面提出的“插板法”这种新的模型就比较简单。相当于把2009个小球排成一排形成2008个空格（除去首尾两个空格)，在其中两个空格中各放入一块隔板，把这2009个小球分成三部分，每部分可视为 ，所以共有 组正整数解。

由上述两例的解法看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也要提醒大家，这类问题模型的构造要求的条件相当严格，必须具备以下3个条件：

（1）所要分的物品规格必须完全相同；

（2）所要分的物品必须分完，绝不允许有剩余；

（3）参与分物品的每个成员至少分到1个，绝不允许出现分不到物品的成员。

例15。求证：

分析：只需证 ，左边为 项之和，可表示 类办法，其中每项均为4个数之积，可表示任何一类办法均分4步进行；仔细观察左边可得模型，并加以证明。

证明：构造模型，“从个学生中任选个（ ）参加学习座谈会，并从中确定一个人汇报数学、一个人汇报语文、一个人汇报英语的学习情况（可以兼职），问有多少种不同的选法？”

选法1：先选出参加会议的学生，再从中确定汇报者，则

选法2：先选出汇报者，再选出其他参加会议的学生。

（1）若均由一人汇报，则选出汇报者 种选法，再在其他 个学生中逐个选定出席会议者，有 种方法，又乘法原理得 ；

（2）若由两人汇报，分步考虑：①由哪二人汇报；②谁汇报两门课程；③汇报哪两门课程；④其他人如何选，由乘法原理得 ；

（3）若由三人进行汇报，分步考虑：①由哪三人汇报；②汇报什么课程；③其他人如何选；由乘法原理得 。

再由加法原理得

因问题解唯一，即选法1和选法2结果一样，所以

。

本例构造的是实际背景模型，把题目中的各个部分赋予了明确的是意义，使解答变得条例清晰，容易理解。根据问题的特点，把握问题的本质，联想、类比是构造模型的关键。

五、数列问题

构造法在数列问题中常见的应用有两种：由递推式求通项；构造新数列证明数列不等式（数列的有界性）。下面一一举例说明。

例16。求用下列式子给定的数列的通项：

分析：根据数列递推式的特征，递推式系数不是1，因此我们选择构造适当的等比数列。而数列又是分式形式，所以进一步可以考虑构造形如 的等比数列。

解：设 ，则由已知的递推式有：

，

所以： ，则 为方程 的两根，即方程 的两根。解得： 或 不妨取第一组，则 ，且 是首项 的等比数列。于是， ，从而有 ，解得： 。

通过观察递推式的系数和次数，定好构造数列的结构是快速构造出新数列的关键。本题若选第二组解，之后的整个过程的结果恰好与上面的互为倒数，得到的结果完全一样！

例17。求证： 。

分析与解：构造数列 ，因为

所以 。即 是递增的数列，于是 。所以

。

本题题干中出现的是和的形式，若题目中是乘积形式，构造的新数列应为不等号左右两边项的商，判断单调性用作商。

以上就是构造法在数列问题中的两种主要应用，但不是全部。由具体问题决定的不同的构造也经常存在。

六、其他实际问题

从例15我们看到，构造实际背景模型可以有效解决数学问题。反之，构造数学抽象模型也是解决实际问题的常用方法。

例18。设有 个机场，从每个机场起飞一架飞机，沿直线飞到离出发机场最近的另一个机场降落，并且任两个机场之间的距离都不相等。试证明：在任一机场降落的飞机不得能超过5架。

解：假设在某一机场 降落的飞机超过5架，不妨设为6架，这6架飞机分别来自 机场。为了弄清其问的关系，我们构造一个几何模型,由已知可知:到 的距离小于 到其他机场的距离，因此 。同理 ，所以在 中， 为最大边，故 ，同理，都大于 。也就是说这六个角之和大于 ，这是不可能的。因此原假设不可能成立。即：在任一机场降落的飞机不得能超过5架。

实际问题的解决，重点在于深入分析问题的本质，抽象出合理的数学模型，有效构造，从何快速解决问题。

通过上面的例子，我们看出，构造法解题确实是一种很有效的解题方法，并且构造法对学生创造性思维的培养确实有很重要的意义。那么如何在实际教学中培养学生的构造意识，使学生逐步掌握构造法呢？在本文的结尾部分，结合构造法解题的特点对实际教学中如何进行构造法教学提出一些建议。

七、构造法解题如何在教学中有效实施

构造体现是一种转化的策略。成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种高度体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映。教学中，我们可引导学生建立数学解题观念，使学生真正体验转化方式在问题解决中的重要作用；培养学生联想、想象、化归、类比、直觉和探究的意识；帮助学生逐步建立合理的解题思维方式，理解合理的数学思维结构；培养学生兴趣，开发智力，拓展解题思路，形成合理的数学思维结构。当学生接触的问题难以入手时，思维不应保留在原有的问题上，而应将原问题转化为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。

构造式教学方法应符合以下教学原则：

一是创设的问题符合学生的认知水平。即在知识的“最近发展区”内设置问题，使学生在教师的引导下，能够顺利实现问题的转化；二是合理运用化归、直觉等方式，对现有问题的形式结构作出判断，通过联想，找到问题的“相似结构”的原型。三是引导学生逐步建立模式识别的方法，能够将问题的本质、形象直观地显示出来，从而缩短思维过程。

由于构造式解题具有一定的创造性，在转化策略上常常会产生错误：（1）找不到“形”或“数”的 “原型”；（2）知识经验不足，教授简单，导致学生不能接受；（3）模式策略的选择明显地增加了解题过程的难度和长度。从信息加工观点的角度来看，解决数学问题大多数是通过模式识别来解决的：许多数学问题的解决，学生首要的是识别问题属于哪一类，然后以此为索引在记忆贮存中提取相应的方法，即模式辨认，辨认的准确与否决定着所提取的方法合适与否，从而也就决定着解题结果的正确与否。

在教学过程中，力求从易到难，从“显性”到“隐性”、从直接到间接的转化，逐步使学生适应转化的方法和策略，逐渐提高模式识别的能力，进而合理地转化问题。

由于构造式解题教学具有简洁、巧妙、灵活、思维跨度较大的特点。学生常常不易掌握也不易想到，容易增大学生对构造法的畏惧心理，从而导致对此方法的掌握仅限于表面，并未掌握构造的思维实质。究其原因，主要表现在教学中忽视学生的主体作用，使学生感到疑惑和不解，其次教学中不注重体现转化的思维过程，不注重引导、启发学生主动积极思维，使教学变成单向度的传播过程，变为教师表演。当代著名数学家波利亚曾说过：“构想一个辅助问题是一项重要的思维活动。”说明构造是一项极为有意义的数学思维活动。当然在解题教学中，不必过于崇拜和迷信构造法，刻意追求技巧，人为地拔高，为“构造法”而构造，忽视题目的结构特征和通法，使学生感觉数学深奥，技巧性太强，从而对数学学习产生畏惧感，要根据学生实际，合理运用，才能使学生逐步掌握构造的方法。

[1]董学峰.例析构造法在解题中的应用[JT].甘肃科技纵横.2008年第3期.

[2].

[3]陈克胜.罗成广. 关于“构造法“解题的构思放径[J]. 高等函授学报.2005年.