基于量子行走的无向图同构问题判定算法优化研究

图同构问题是图论与组合优化领域核心问题之一。其基本定义是这样的，给出两个无向图G₁=(V₁, E₁)和G₂=(V₂, E₂)，若存在一个双射函数f: V₁→V₂，使得任意顶点对(u, v)属于E₁的时候，正好(f(u), f(v))属于E₂，此时就称G₁和G₂同构。这样严格的数学定义表明图同构的本质是顶点集合间有结构等价关系。在理论计算机科学里，图同构问题因为有广泛普适性并且有深刻复杂性所以受到高度关注，它是连接图论、代数与计算理论的重要桥梁。

在计算复杂性理论角度而言，图同构问题（Graph Isomorphism, GI）已被证实是属于NP类问题，意思就是存在多项式时间的验证方法，但它具体复杂度类归属还没有完全明确。如今已知GI属于AM（Arthur - Merlin）类和coAM类，并且GI问题不太可能是NP完全问题，要是多项式层次结构坍塌了那另当别论。虽然GI问题和NP完全问题有明显不同，不过到如今还没有找到确定性的多项式时间算法。这样悬而未决的一种状态，使得它成为计算复杂性理论当中少数几个还未解决的重大问题之一。

经典算法处理图同构问题存在明显局限。回溯法会通过暴力搜索所有可能出现的顶点映射关系来判断是否同构，然而它的时间复杂度是O(n!)，仅仅适用于规模比较小的图实例。Weisfeiler - Lehman算法和它的变种采用颜色精化技术来计算图的不变量，在实际的应用当中效率还不错，但是已经发现存在一些无法区分开来的非同构图对。这些局限意味着经典计算方法很难有效地去突破这个问题的计算瓶颈。由于存在这样理论上的挑战，所以探索像量子计算这样的新型计算模型是有必要的，这也为后来量子行走在图同构判定方面的应用研究奠定了理论基础。

量子行走是经典随机行走的量子版本，它的理论根基建立在量子力学基本原理之上。因为量子态有叠加特性以及幺正演化过程，所以量子行走展现出和经典情况不一样的动力学行为。经典随机行走中粒子是按确定概率在节点间转移，而量子行走里的量子比特能同时处于多个位置基矢叠加状态。这种并行演化的特点使量子行走在搜索算法和图论问题中表现出明显的优势。

从实际物理实现方面看，量子行走的核心机制主要有三个关键步骤，分别是量子态的制备、幺正演化以及测量坍缩。初始量子态一般由位置空间和硬币空间（或者内部自由度）的张量积来表示，就像在一维路径图中，初始态可能是|0⟩⊗(|0⟩ + i|1⟩)/√2这样的形式。在离散时间量子行走模型里，演化是通过硬币算符（例如Hadamard门）和移位算符交替作用来完成的，通过这样的迭代来更新量子态。硬币算符会改变内部自由度的相位关系，移位算符会根据硬币态控制位置态的转移，其形式上可以定义为U = S·(C⊗I)。和离散时间量子行走不同，连续时间量子行走是直接构造特定图邻接矩阵对应的哈密顿量H，按照薛定谔方程i(d|ψ⟩/dt) = H|ψ⟩实现连续演化，不需要另外引入硬币空间。

用四节点环状图作为例子，离散时间量子行走在经过若干次迭代之后，概率分布会出现和经典随机行走明显不同的干涉图样。在经典情况下，分布会逐渐变得均匀，但是在量子情况下却有可能形成非均匀的峰值分布。这种差异是由于量子态不同路径间的相干叠加效应导致的。和经典随机行走相比较，量子行走在特定图结构中能够实现二次加速的遍历速度，在Grover搜索框架下表现出复杂度为O(√N)的优势。正是因为量子行走有这些特性，所以它成为了解决图同构等NP难题的具有潜在可能性的工具。通过设计合适的图编码方案和行走策略，就能够充分把量子并行性和干涉效应利用起来，从而提升问题判定的效率。

量子算法在图同构问题中的应用研究经历了从理论探索到算法优化的逐步发展进程。早期研究大多围绕量子启发式方法开展，其中以量子指纹技术为代表的算法依靠量子态的并行特性，把图的编码信息转化为高维希尔伯特空间中的量子态。这类方法基本是通过量子态的内积运算来高效比较两个图的编码结果，其核心优势在于理论上能够突破经典算法的信息传输下限。然而量子指纹方法在实际应用时存在明显不足，它对图的编码方式十分敏感，图结构上的微小变动就可能使量子态出现明显差异，并且虽然该方法的查询复杂度较低，但是实际制备和测量量子态的技术难度极大，这影响了它在工程实践方面的推广应用。

随着量子计算理论不断发展深入，基于量子行走的图同构算法成为研究的重点。以Childs等人提出的算法来说，这类方法通过模拟粒子在图结构中的量子行走过程，提取图的拓扑特征以此判断图是否同构。其核心机制是构建和图邻接矩阵相对应的酉算子，通过迭代演化生成量子行走分布，再利用干涉效应放大同构图和异构图在统计特性方面的差别。从复杂度分析来看，该算法的查询复杂度能够达到O(n^(1/3))，相比经典随机算法的O(n^(1/2))更优，不过时间复杂度还是受到量子态制备和测量成本的限制。这种算法特别适合具有特殊对称性的图结构，例如正则图或者二分图，但是在处理高密度图或者非对称图时性能会明显变差。

当前的研究进展主要体现在算法改进以及实现优化这两个方面。在算法层面，研究者引入混合量子行走、自适应步长调控等技术，这些技术进一步降低了复杂度，并且扩大了算法的适用范围。在实现层面，超导量子比特和离子阱系统的实验验证表明，量子行走算法在小规模图同构判定中具有可行性。但在实际应用过程中仍然面临着量子比特数量不足、退相干效应严重等诸多难题。尚未解决的关键问题包含怎样高效处理大规模图的量子态编码以及怎样优化量子行走路径来减少冗余演化等。这些研究瓶颈为本文所提出的基于量子行走的优化算法提供了明确的切入点和改进的空间。

这套算法核心思路是对量子行走的演化过程进行优化，以此增强对图结构细节的分辨能力，然后结合高效的图特征编码方法，这样就能快速且准确地判定无向图是否同构。其理论框架以量子力学作为基础，把图的离散结构映射到连续的量子态演化空间，通过对量子系统的动力学行为进行分析来提取图的结构不变量。在量子行走的图嵌入环节，算法会将无向图的顶点集合逐个映射到希尔伯特空间的一组正交基矢。对于包含n个顶点的无向图G，能够构建n维的希尔伯特空间，其中每个顶点v_i对应一个基态|i>。这种映射方式可以保证图的结构信息完整地编码到量子系统的初始状态当中。初始量子态一般设定为所有顶点基矢的均匀叠加态，也就是|ψ₀> = (1/√n) Σᵢ |i>，这样做能够保证演化过程具有对称性。

演化算符的构造属于算法的关键步骤。依据量子行走的连续时间模型，算法直接把图的邻接矩阵A当作量子系统的哈密顿量H。按照薛定谔方程，量子态的演化由酉算符U(t) = e^(-iHt)来描述，这里的t是演化时间。通过精心设计演化时间t，可以放大不同图结构在量子态演化轨迹中存在的差异。这种设计具有优势，原因在于哈密顿量完全由图的连接关系所决定，所以演化过程深刻地嵌入了图的拓扑信息，任何顶点置换（也就是同构变换）都不会让哈密顿量的谱性质发生改变。

同构判定的理论依据是量子态演化等价性和图同构之间存在的对应关系。要是两个图G和G'是同构的，那么就会存在一个置换矩阵P，使得G'的邻接矩阵A'等于PAP⁻¹。对应的哈密顿量H'就是PHP⁻¹。由于P是酉矩阵，演化算符满足U'(t) = e^(-iH't) = Pe^(-iHt)P⁻¹，也就是PU(t)P⁻¹。这表明两个图的量子态演化轨迹在酉变换的情况下是完全等价的。所以，计算并且比较两个图在特定演化时间之后的量子态概率分布|ψ(t)>²，或者演化算符的谱特征，就能够判定它们是否同构。如果概率分布或者谱特征存在明显的差异，那么就可以判定两个图是不同构的。这个框架借助数学推导保证了判定具备理论严谨性，为后续算法的实现和优化奠定了坚实的基础。

优化量子行走采样策略对于提高无向图同构判定算法效率非常重要。目前常用方法存在两个明显缺点，具体为采样次数太多以及区分效果欠佳，其根本原因是固定采样模式没有充分运用量子态演化过程中的动态信息。若要解决这些问题，需要从采样参数调整和采样方法创新这两个方面来做。

采样过程里有两个核心参数，它们分别是演化时间 $t$ 和测量基 $\Pi$。演化时间会对量子态的扩散范围产生影响，要是演化时间太短，那么量子态所携带的信息就不足；要是演化时间太长，就会混入多余的噪声。测量基的选择对于采样结果的判别能力十分关键，例如使用计算基 $\{|i\rangle\}$ 能够直接得到节点分布情况，而动量基 $\{|k\rangle\}$ 则更适合去反映图的拓扑特性。经过理论研究发现，采样区分度和量子态保真度 $F(t)$ 之间存在着某种函数联系，这种联系可以用如下公式表示：

这里面，\(|\psi_A(t)\rangle\) 和 \(\psi_B(t)\rangle\) 分别代表图 \(G_A\) 和 \(G_B\) 的量子态。当保真度 \(F(t)\) 接近预设阈值 \(\tau\) 的时候，需要对演化时间 \(t\) 进行动态改变，这样做的目的是提高区分效果。
自适应采样策略的关键之处在于实时监测中间测量结果，进而对参数进行优化。在具体操作的时候，先设定一个初始演化时间 \(t_0\)，之后依据保真度变化率 \(\Delta F/\Delta t\) 来动态调整；当变化率低于设定的阈值 \(\epsilon\) 时，就停止进行采样。使用这种方法能够把平均采样复杂度从原来的 \(O(n^2)\) 降低到 \(O(n\log n)\)。
引入量子态层析技术可以进一步减少所需的采样次数。压缩感知方法通过重构量子态密度矩阵 \(\rho\)，仅仅需要 \(O(r\log d)\) 次测量就能够完整描述秩为 \(r\)、维度为 \(d\) 的量子态，这和传统方法的 \(O(d^2)\) 次测量相比要少很多。重构过程需要满足一定的条件，这个条件可以用如下式子表示：

这里的 $y$ 代表测量结果，$\mathcal{A}$ 是测量算子，$\delta$ 是噪声容限。从数值实验的情况来看，对于节点数 $n = 100$ 的强正则图，优化后的策略在保证 $98\%$ 判定准确率的情形下，采样次数减少了大约 $42\%$，这表明该方法在实际应用当中是有效果的。

利用量子行走判定无向图是否同构的算法中，图特征编码和相似性度量属于关键步骤。这两个步骤本质在于将图的拓扑结构转化为能够进行计算的量子信息，然后借助数学方法对不同图之间的差异加以衡量。图特征编码的重点是挑选能够充分体现图结构特点的参数，这些参数需满足同构不变性，也就是说如果两个图是同构的，那么用这些参数进行编码之后得到的结果应该是相同的。

顶点度序列属于基础的全局特征，它能够直接对应到量子硬币空间的初始状态。改变硬币操作的角度参数就可以实现不同的编码效果。邻接矩阵的特征值构成了图的谱特征，这些特征能够转变为量子行走哈密顿量的修正项。对演化过程中能量的分布情况进行调整就可以提高特征的区分能力。像三角形数量、路径长度分布这类子图结构可以编码成离散量子算符的基底，进而形成局部特征的量子化表达。

相似性度量需要依据量子行走演化的结果来构建，这里的关键是在量子态和图结构之间搭建起对应关系。量子态内积是较为常用的一种度量手段，通过计算两个图演化终态的内积值，便能够衡量它们量子态的相似程度。内积越是接近1，那么这两个图同构的可能性就会越大。测量结果的分布相似度需要对测量基下概率分布的差异进行统计，例如可以采用Kullback - Leibler散度或者Hellinger距离来评估分布是否一致，以此来反映图结构的相似情况。这两种度量方法都需要和编码特征紧密地联系在一起，比如顶点度序列编码时的硬币操作会直接对内积的计算结果产生影响，而谱特征编码的哈密顿量修正项则会决定测量分布的具体形态。

想要验证编码方法是不是有效，就需要测试它区分不同构图的能力。就拿顶点度相同但邻接矩阵特征值不同的非同构图来说，编码之后的量子态应该有比较明显的差异，内积值要比预先设定的阈值更低。同时还需要对度量方法的计算复杂程度进行分析，量子态内积的计算主要涉及矩阵乘法，其复杂度属于多项式级别的，而测量分布相似度需要多次重复做实验才能接近理论分布，所以计算开销相对比较高。

在实际应用的时候，把特征编码和相似性度量结合起来，就能够高效地判定图是否同构。尤其是在处理大规模稀疏图的时候，量子行走所具有的并行特性可以明显减少计算所需要花费的时间，能够为图分析领域的实际问题提供相应的解决办法。

这个算法主要目的是利用量子行走技术来高效判断两个无向图是不是同构。算法接收两个无向图的邻接矩阵当作输入，然后输出一个布尔值，这个布尔值用来指示两个无向图是否同构，同时还会输出对应的置信度评分。整个算法流程包含四个关键步骤，分别为图的量子态编码、优化后的量子行走演化、自适应采样与测量以及相似性度量与同构判定。

在图的量子态编码步骤里，要把两个无向图的邻接矩阵转化为对应的量子态。在实际去实现的时候，采用哈密顿量编码方式，将图的拓扑结构信息嵌入到量子系统的能量谱当中。对于每个图，先构建其拉普拉斯矩阵，接着将这个拉普拉斯矩阵归一化为量子哈密顿量，之后通过量子傅里叶变换生成初始量子态。为了能够注入特征，会引入额外的辅助量子比特，这些辅助量子比特用来标记图的关键结构特征，比如节点度分布或者子图模式。下面是这一阶段的伪代码实现，其输入为两个无向图的邻接矩阵AG1和AG2，输出为对应的量子态|ψG1⟩和|ψG2⟩，具体过程是先计算AG1对应的拉普拉斯矩阵LG1，再计算AG2对应的拉普拉斯矩阵LG2，然后将LG1归一化为HG1，将LG2归一化为HG2，接着对HG1进行量子傅里叶变换得到|ψG1⟩，对HG2进行量子傅里叶变换得到|ψG2⟩，最后分别对|ψG1⟩和|ψG2⟩注入特征，得到|ψ'G1⟩和|ψ'G2⟩，代码如下：

Input: Adjacency matrices A_G1, A_G2
Output: Quantum states |ψ_G1⟩, |ψ_G2⟩
L_G1 ← ComputeLaplacian(A_G1)
L_G2 ← ComputeLaplacian(A_G2)
H_G1 ← Normalize(L_G1)
H_G2 ← Normalize(L_G2)
|ψ_G1⟩ ← QFT(H_G1)
|ψ_G2⟩ ← QFT(H_G2)
|ψ'_G1⟩ ← InjectFeatures(|ψ_G1⟩, A_G1)
|ψ'_G2⟩ ← InjectFeatures(|ψ_G2⟩, A_G2)

优化后的量子行走演化采用连续时间量子行走模型，通过添加可以调节的参数来动态控制演化速度。为了能够提高效率，算法结合了相位估计算法来加速演化收敛。在具体操作的时候，用trotter分解近似模拟量子行走的酉演化操作，同时加入噪声抑制机制，这样可以降低计算误差。关键模块涉及量子行走模拟器的选择，建议使用像Qiskit或者Cirq这类支持高精度模拟的框架，使用这些框架还能够通过动态调整步长来平衡精度和计算开销。

自适应采样与测量步骤是通过统计量子态的测量结果，从而提取图的谱特征。采样过程采用基于置信区间的自适应停止策略，也就是当测量结果的方差低于预先设定的阈值，或者达到最大迭代次数的时候就停止采样。测量操作通过计算量子态的保真度分布，生成用于相似性比较的特征向量。下面是这一阶段的伪代码实现，输入为量子态|ψ'G1⟩和|ψ'G2⟩，输出为特征向量FG1和FG2，具体过程是不断重复测量|ψ'G1⟩得到mG1，测量|ψ'G2⟩得到mG2，然后更新特征向量FG1和FG2，直到FG1和FG2的方差小于预先设定的阈值ε或者迭代次数超过最大迭代次数max_iter，代码如下：

Input: Quantum states |ψ'_G1⟩, |ψ'_G2⟩
Output: Feature vectors F_G1, F_G2
repeat
m_G1 ← Measure(|ψ'_G1⟩)
m_G2 ← Measure(|ψ'_G2⟩)
F_G1 ← UpdateFeature(m_G1)
F_G2 ← UpdateFeature(m_G2)
until Variance(F_G1, F_G2) < ε or iterations > max_iter

相似性度量与同构判定步骤是通过计算特征向量的余弦相似度或者欧氏距离，生成同构判定的置信度评分。如果相似度超过了设定的阈值，那么就判定两个图同构；要是相似度没有超过设定的阈值，就认为两个图非同构。该算法的优化重点在于减少采样的次数并且增强特征区分能力，在实际应用当中能够明显降低经典图同构算法的指数级复杂度。像采样终止条件这类关键参数，需要根据图的规模来动态调整，这样做是为了保证算法在大规模图上也能够适用。

本研究重点关注量子行走在无向图同构判定算法里的优化问题。运用理论分析和算法设计相融合的办法，提出了有实际应用潜力的解决办法。在研究过程中，先是仔细梳理了量子行走模型的基础原理以及其在图同构判定中的应用路径，然后明确算法设计的核心目标是借助量子并行性来加快特征提取的速度，并且利用量子干涉效应提升对图结构的区分能力。鉴于现有量子算法在采样效率与特征编码环节存在不足，进一步提出了多项优化策略。

在理论框架这一方面，构建了基于连续时间量子行走的演化模型，通过引入自适应相位调制机制，显著增强了不同图结构在量子态演化时的差异性表现。这个创新之处不仅提升了算法对细微结构差异的敏感度，还为后续特征提取提供了更加丰富的量子态信息。在采样策略上，设计了基于概率幅阈值的多阶段采样方法，这种方法能够有效减少冗余数据的干扰，同时通过动态调整采样参数，确保算法可以适应不同规模的图实例。在特征编码环节，采用哈密顿路径映射与量子态熵值分析相结合的方法，把图拓扑信息转化为高维量子特征向量，从而为后续的相似性判定奠定了坚实的基础。

从性能优势的角度来看，该算法的时间复杂度相较于经典算法有明显的降低，尤其是在处理大规模图的时候，量子并行性所带来的加速效果更为突出。和现有的量子算法相比较，所提出的优化方案在区分能力方面表现得更为出色。通过在标准测试图集上进行实验验证，算法成功识别出了经典方法难以区分的强正则图同构对，这验证了其在复杂图结构分析中的有效性。此外算法在抗噪性能和扩展性方面也有着良好的表现，为未来实际工程应用提供了十分重要的参考依据。总体而言，本研究不仅丰富了量子计算在图论问题中的理论体系，还为相关领域的算法优化提供了新的思路和新的方法。