基于小型PLC的有轨小车寻线高精度控制数学模型设计

0 引 言

文献中提到在经济迅猛发展的今天，我国工业化水平也获得了极大提升，同时也存在一些制约发展的因素显现出来。对于企业而言，日趋复杂的工艺、产量激增导致仓储成本上升以及人口老龄化引起的人力成本提高等众多因素影响，都迫使企业不断提升生产过程中的自动化水平和劳动生产率[2?3]。作为协调生产的重要环节，文献提到工厂运输效率对生产成本以及生产效率的提高有直接影响。因传统物流模式已不能适应现今各行业的生产与发展，所以需要用一种新的全方位、全自动化的物流系统来替代传统物流运输系统[5?7]。

文献指出空间运输和地面运输是目前生产过程中最常用的物料运输方式。在空中利用如电动绞车等起重设备，吊起物料并按既定路线运输到指定位置，然后放下物料，此种方式就是空间运输。地面运输是指通过叉车等运输工具运送物料。对于现代企业来说，以上两种运输方式都存在许多弊端，比如空间运输效率低、操作不便且投资较大，而地面运输费时费力且人力成本越来越高，安全程度较低。

本文提出以激光循迹小型PLC为基础的有轨小车提高运输效率，并且实现有轨小车高精度控制设计。通过GPC算法控制该系统目标函数的增量，保证小型PLC有轨小车寻线轨迹精确度。

1 基于小型PLC的有轨小车控制系统总体设计

1.1 构建有轨小车寻线轨迹系统模型

作为一种数字运算操控的电子系统，可编程控制器的设计与应用对工业发展贡献巨大。可编程存储器被应用于内部存储，进行顺序控制、逻辑运算、定时计算等操作，再利用模拟式、数字式输入与输出操控各种类型机械。构建基于PLC控制有轨小车动力系统的数学模型，有助于更加深入地分析该系统的动态轨迹以及预测控制系统性能，通过现代控制理论的状态空间模型可以更准确地描述系统。

1.1.1 步进电机模型

步进电机是一种利用电脉冲信号转换成角度的执行元件，脉冲信号的数量、相序和频率决定了转动角度、转动方向以及转速。整个有轨小车转向系统的快速性及准确性与步进电机动态特性好坏息息相关。此动态过程由步进电机接收到脉冲信号开始到脉冲信号停止，随着时间变化，步进电机输出量也随之改变。在忽略失调角度产生的阻力矩时，步进电机动态平衡方程可描述为： 式中：为转子转动惯量；为阻尼系数；为阻尼转矩；为步进电机转动角度；为步进电机系统运转时间。

设步进电机输入脉冲数量为实际输出位移量为。设定其中为两个方向的常量。⒏雎龀逑喽杂?理论角位移值当作输入量，以转子实际角位移值为输出量，代表失调角，则：

式中：为步进电机最大净转矩；为失调角；为转子齿数，以电角度代表失调角并用表示。

将式（2）代入式（1）可得：

式中：代表方向上时刻实际输出的位移变化量；表示实际输出角位移量；代表实际输出位移角总体变化量。

则步进电机状态空间方程可描述为：

1.1.2 传动机构模型

舵轮与传动机构间采取刚性连接，传动装置末端留有小孔，使舵轮支撑梁穿过其中，因此其传动比值为11。设输入到传动机构中的角位移为传动装置输出角位移为令传动装置动力学方程可描述为：

式中：为传动装置转动惯量；为传动装置阻尼系数；为传动装置刚度系数；传动装置输出角位移变化量为。

整理式（5）可得：

式中：表示传动装置输出角位移首次变化量；表示传动装置输出角位移总体变化量；输入到传动装置中的角位移由表示；传动装置方向的输出角位移由表示。传动机构状态空间方程为：

式中：传动装置输出角位移量由表示。在系统改变角度的条件下，可以设置角位移传感器的反馈量为单位负反馈，即输出反馈矩阵是常数-1。

系统闭环空间表达式可在引入输出反馈后描述为：

式中：代表单位反馈矩阵；代表系统反馈矩阵；代表系统输出矩阵。根据以上各个单独系统的设计，对系统进行串联后与PLC控制系统实现连接，初步完成基于小型PLC的有轨小车系统，为增强小车寻线轨迹的稳定性，通过高精度控制方法对该系统实现进一步调控。

1.2 基于PLC的小车寻线控制方法

由于GPC算法和PID控制算法在控制率方面具有相似性，因此整合GPC算法与PID控制算法能够形成二者结合的高精度控制器。基于ARIMAX模型的GPC算法可描述为：

式中：表示输出向量；表示输入向量；表示零均值白噪声序列；及阶的多项式由及表示。

该模型可采用积分形式删除余差，则定义目标函数为：

式中：表示最大预测长度；表示控制长度，且目标函数输出、输入向量分别由表示；代表GPC的参考轨迹；加权系数由表示，并设定为常数。

可对GPC的参考轨迹进行描述，则：

式中：为系统输出向量；为系统设定值；为柔化系数。目标函数中末项能够在控制增量过强时给予抑制，从而有效地防止系统超出受控范围或发生震荡。

GPC控制可总结为求解使目标函数获取最小值的最优解问题。根据丢番图方程，在不计未来时刻噪声的条件下，对时间之后步的预测可描述为：

式中：为预测输出向量；为单位阶跃响应采用值；表示丢番图方程的多项式；系统经过时间之后步的输出变量由表示；系统输入的变化向量由表示。

利用输入与输出数据总量代替丢番图方程的多项式，则实际控制中的输入分量为：

式中：单位阶跃响应采用值中的第一行值由表示；系统参考轨迹由表示；经过时间后输入变量由表示。

根据PID控制策略的基础性能，PID控制率可以描述为：

式中：为PID控制器的单位阶跃响应值；为比例系数；为积分时间常数；为微分时间常数；为控制器调控时间。由于该控制器对控制对象的特性变化反应较慢，所以需要将GPC算法与PID控制器相结合。在控制系统中常采用增量式PID，则该控制算法可描述为：

式中：为PID控制器调控参数；为系统设定输入与实际输出的差值；为控制器输出；为采样时间；为差分算子。

为方便推导及计算，令，则式（15）可变化为：

式中：为比例系数算子。因为GPC算法与PID算法在控制率方面具有相似性，则可对二者进行整合，获取GPC二次型性能指标最小化公式：

式中：为静态增益项。通过将GPC算法与PID算法结合得出系统调控输出向量，使有轨小车在寻线过程中按照上述参数调整后获得稳定输出。

2 仿真实验及结果分析

为有效完成基于PLC有轨小车的寻线过程，需对小车寻线过程中动态性能的不稳定运用文中GPC?PID控制系统进行调控，以保证整个PLC小车控制系统的整体稳定性。

实验1：为保证有轨小车在寻线过程中出现线路偏差能够及时纠正，文中运用GPC?PID控制器及传统PID控制器对控制输出实现调控，通过调整参数使偏差消除，两种控制器的调控效果如图1及图2所示。

通过图1，图2可以看出，当有轨小车轨迹出现偏差时，利用文中GPC?PID控制器及PID控制器分别对偏差轨迹进行参数调整，由于文中GPC?PID控制器分别对比例项增益系数及积分系数同时进行调控，在对比例系数进行控制时，可确保有轨小车偏差轨迹恢复到原位，防止比例系数调控过大造成震动，同时对积分系数进行调控，保证位置回归准确的情况下，确保有轨小车的稳定性能。传统PID控制器只单方面从比例增益系数调节有轨小车寻线输出系统，在调节系数增大的情况下会造成综合系统的震动及不稳定，使小车寻线轨迹偏离方向，产生严重误差，不能达到预期效果。比较两种控制器，文中GPC?PID控制器的控制输出效果较为稳定。

实验2：将GPC?PID控制及丢番图方程计算求解运用计算机进行Matab编程，并设定系统输出值为2，观察文中GPC?PID控制器及传统PID控制器输出设定值的系统响应时间，通过图3系统响应时间曲线图比较两种控制器的差异性。

在输出设定值一定的情况下，通过10次仿真实验比较GPC?PID控制器输出设定值系统响应时间与传统PID控制器输出设定值系统响应时间可以看出，文中GPC?PID控制器的系统响应时间明显较传统PID系统响应时间短，说明本文基于PLC的GPC?PID控制系统灵敏度及稳定性能都非常良好。

3 结 论

为提高工业生产线运输材料的效率，本文提出基于小型PLC对有轨小车寻线轨迹进行高精度数学模型。实验仿真结果表明，本文设计方法可以有效地确保有轨小车寻线轨迹的精确性和稳定性。