基于多目标优化问题的数学模型探讨

中图分类：O226 文献标识：A

0 引言

生活中，许多问题都是由相互冲突和影响的多个目标组成。人们会经常遇到使多个目标在给定区域同时尽可能最佳的优化问题，也就是多目标优化问题。优化问题存在的目标超过一个并需要同时处理，就成为多目标优化问题。

多目标优化问题在工程应用等现实生活中非常普遍并且处于非常重要的地位，这些实际问题通常非常复杂、困难，是主要研究领域之一。自20世纪60年代早期以来，多目标优化问题吸收了越来越多不同背景研究人员的注意力，因此，解决多目标优化问题具有非常重要的科研价值和实际意义

1 普通多目标优化问题

普通多目标优化问题也称为向量数学规划。对设计者或决策者而言，普通多目标优化问题几个设计目标可能存在重要性的差别，但是不存在优先权的差别。

比如，欲把直径为d的圆木加工成矩形截面的梁，如何设计其截面尺寸，使其强度大且重量轻？

分析研究：设截面的宽和高分别为 。由于其强度取决于截面的惯性矩 ，其重量取决于截面面积 ，因此该问题可看作是两个设计目标的优化问题：

该数学模型就可归结为一个普通多目标优化问题：

在这个问题中，梁的强度大可能与重量轻同等重要，也可能比重量轻更重要。但是在把它作为普通多目标优化问题求解的时候，并不因强度大比重量轻更重要，而先考虑强度指标后考虑重量指标。 的极小化将同时进行。

2 目标规划问题

目标规划问题与普通多目标优化问题的不同之处在于：它虽然有多个设计目标，但是每个设计目标并不是使目标函数极小化，而是使每个目标函数同时逼近各自的预定目标值。

比如，某工厂生产n种产品，第i种产品的生产能力为ai吨/小时，其利润为ci元/吨，预测第i种产品下月的最大销售量为bi吨。该工厂下月的工时能力为t小时。在避免开工不足的条件下，如何安排下月计划才能使：1）工厂所获利润最大；2）员工加班时间尽量少；3）尽可能多地满足市场对第1种产品的需求？

分析研究：设下月计划用xi小时生产第i种产品，并用 三个函数分别表示工厂所获利润、员工的加班时间以及第1种产品的产量，该问题就可看作是三个设计目标的优化问题：

假设此例的问题对工厂利润、加班时间以及第一种产品的产量分别有预定的目标值 ，该问题就归结为下列目标规划问题：

目标规划问题与普通多目标优化问题也有相同之处，它们都有多个设计目标，各个设计目标可能存在重要性的差别，但是不存在优先的差别。

3 分层多目标优化问题

分层多目标优化问题与上述两种多目标优化问题的不同之处在于：它的几个设计目标不仅可能存在重要性的差别，而且存在优先权的差别。也就是说，设计者优先考虑某些设计目标，在这些设计目标已经达到的前提下，才考虑其它设计目标。这类问题的设计目标被分成不同的优先层次，在对它求解的时候，先对优先层次较高的设计目标求解，后对优先层次较低的设计目标求解。

假设m个设计目标被分成L个优先层次，各层次的目标函数个数依次为 。如果以各层次的目标函数作为该层次的向量目标函数

的分量，即

第一优先层次：

第二优先层次：

……

第L优先层次：

那么分层多目标优化问题的数学模型可表示为

式（3）可被缩写为更简洁的形式：

在第二个问题中，假设计划制定者在首先考虑工厂如何获得最大利润之后，才去考虑减少加班时间和增加第一种产品产量，该问题就是一个具有两个优先层次的分层多目标优化问题：

4 多目标优化问题的最优解

求解优化问题的目的是为了获得最优解，然而多目标优化问题有多个不同的设计目标，设计目标之间可能发生冲突，这时一个可行解对某一个设计目标是最优的，对另外的设计目标却不是最优的，这就造成多目标优化问题的最优解概念的复杂化。

比如，对多目标优化问题

实际上，多个目标函数具有相同最优点的情形是极为少见的。对大多数多目标优化问题来说，绝对最优解并不存在，或者说多目标优化问题的绝对最优解集大多数是空集。由于各分量目标函数的最优解集的交集通常是空集，所以要找到多目标优化问题的绝对最优解一般是不可能的。因此对于多目标优化问题，如果想在它的可行解中进行比较，找到其中的最优解，就不能把最优解局限在绝对最优解集当中。换言之，如果想在求解多目标优化问题时获得有意义的结果，就需要对最优解的概念作出不同于绝对最优解的定义。

[1]严升明.机械优化设计DOD.徐州.中国矿业大学出版社. 2003.

[2]和孙请民.机械优化设计D00D.北京.机械工业出版社. 1999.

[3]钟痢燕.线性代数与最优化方法0.广州.广东高等教育出版社. 2001.

[4]光良贵.纪名刚.机械设计D].北京.高等教育出版社. 2001.