构建创意平板折叠桌的数学模型

一、模型假设

折叠后的桌面为理想圆，光滑平整，且桌面上的木条间无间隙

钢筋与开槽内壁之间无摩擦

将木条抽象为线段，不计木条的厚度

二、符号说明

序号符号符号意义

1r桌面半径

2h桌子高度

3N桌腿的根数

4b每根木条的宽度

5p铺平时木条的铰链到x轴的距离

6q桌子长度的一半

7α第一根木条与桌面间的夹角

8y（r）第一根木条的铰链之间的距离的一半

9y（t）不忽略y（r）时木条的铰链对应的纵坐标

10egL（t）桌腿长度

三、模型的建立与求解

3.1几何分析模型

考虑桌面折叠后最边缘的木条长度，建立空间直角坐标系，取每根木条的中心线作为取值点，y轴的取值范围为[-r+d/2，r-d/2]，取值间隔为d，桌面圆的参数方程为：

y（t）=t

x（t）=r2-t2

腿长度为：egL（t）=q-x（t）

图1XOZ平面图

如图所示，B点为钢筋轴在XOZ平面投影的位置，A点为t0=-r+d/2时所对应的x轴函数值，即此时有：x（t0）=r2-（-r+d/2）2。

在ΔABD中，BD=ABsinα，即可得钢筋轴竖坐标z1（t）=-gsinα

同理，由AD=ABcosα，得钢筋轴横坐标x1（t）=x（t0）+gcosα

在ΔCBD中，tanβt=BDCD，故βt=arctan-z1（t）x1（t）-x（t）

在ΔCEQ中，EQ=CEcosβt，QE=CEsinβt

故桌脚边缘线的横坐标为x2（t）=x（t）+egL（t）cosβt

桌脚边缘线的竖坐标为z2（t）=-egL（t）sinβt

使用MATLABR2012b绘制折叠桌在折叠过程中的动态变化示意图，如下：

图2折叠桌在折叠过程中的动态示意图

3.2参数方程的建立

3.2.1木条铰链参数方程

设计的木条宽度不一样，那么折叠桌的桌腿数目也会随之改变。将桌面近似为一个半径为r的圆。那么将每根木条铰链处对应横坐标视为一个关于参数t的渐变连续的函数。设N为桌腿的根数，b为每根木条的宽度，则有关系式：

N=rb即，b=rN

由勾股定理知，铰链的纵坐标满足关系式y（t）2+（i-1Nr）2=r2

由此化简可得出铰链的参数方程为

x（t）=t

y（t）=r2-[（i-1）b]2

3.2.2桌角边缘线参数方程的建立

上述几何模型中求的桌角边缘线参数方程，忽略了将平板折叠后，最长木条铰链间的距离。重新考虑被忽略的距离，画YOZ平面的草图如下：

图3YOZ平面

在图4中，点A为钢筋在YOZ平面的投影。OF即为折叠后第一根木条铰链之间距离的一半，即y（r）。线段FG为第一根木条，即桌子最大限度折叠后最长的木条。线段CB为除第一根木条外的任意某根木条。线段AB为木条的铰链到钢筋的距离。

在ΔAFE中，FE=AFcosα=（p-y（r））cosα

在ΔABF中

k（t，α）=（p-y（r））2+（y（t）-y（r））2-2（p-y（r））（y（t）-y（r））cosα

在ΔABE中，cosγ=BEAB=（p-y（r））cosα-（y（t）-y（r））k（t，α）

故，BD=BCcosγ=（q-y（t））cosγ

由此可推出桌腿纵坐标Y（t），即：OD=OB+BD=y（t）+（q-y（t））cosγ

在ΔCBD中，由勾股定理知：CB2=BD2+CD2

进一步得，CD=（q-y（t））2-（Y（t）-y（t））2，即桌腿的竖坐标Z（t）

四、模型评价

4.1模型的优点

通过建立了三维坐标系，利用几何关系以及三角函数方法得到桌腿边缘的参数方程函数模型，模拟出从平铺到折叠到最大程度时桌腿边缘的轨迹，从而为构建创意折叠桌的动态描述模型。

4.2模型的缺点

模型中将折叠后的桌面看做一个以平板宽度为直径的园，而实际并非如此。此外，忽略木条的厚度会模型的精确性有一定的影响，考虑的因素不够全面。（作者单位：河南师范大学）

[1]李彦刚.祁忠试.数学建模方法引论D0 .北京.北京理工大学出版社.20I2.