浅谈分类讨论思想在中学数学中的应用

所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”.下面分析一下分类讨论思想在中学数学中的应用.

一、分类讨论思想在集合中的应用

例1.设A={[x] -2≤x≤a}，B={[y] y=2x+3，x∈A}，C={[z] z=x2，x∈A}，且C?B，求实数a的取值范围。

解∵A={[x] -2≤x≤a}，

∴B={[y] y=2x+3，x∈A}

={[y] -1≤y≤2a+3}.

（1）当-2≤a≤0时，C={[z] a2≤z≤4}，因为C?B，所以4≤2a+3，解得a≥，

与-2≤a≤0矛盾.

（2）当0 解得a≥，

故≤a≤2.

（3）当a>2时，C={[z] 0≤z≤a2}，因为C?B，所以a2≤2a+3，

解得-1≤a≤3，

故2 综上可得[a]

≤a≤3.

二、分类讨论思想在函数中的应用

例2.已知函数f（x）=2x2-2ax+3在区间[-1，1]上有最小值，记作g（a），求g（a）的函数表达式.

解：原式配方得y=2（x-）2+3-，

其对称轴方程为x=，

（1）当≤-1时，即a≤-2时，y在[-1，1]上递增，

在x=-1时，g（a）=2a+5；

（2）当-1<<1时，即-2 在x=处有最小值，g（a）=3-；

（3）当≥1即a≥2时，y在[-1，1]上单调递减，

在x=1时，g（a）=5-2a；

综上所述可得g（a）=2a+5，（a≤-2）

3-

（-2 5-2a，（a≥2）.

三、分类讨论思想在不等式中的应用

例3.解关于x的不等式x2-（a+a2）x+a3>0.

解：（1）当0a2，不等式的解集为{[x] xa}；

（2）当a=0时，a=a2，不等式解集为{[x] x∈R且x≠0}；

（3）当a≠1时，a=a2，不等式解集为{[x] x∈R且x≠1}；

（4）当a>1或a<0时，a 四、分类讨论思想在排列组合中的应用

例4.在正方体的顶点中，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少？

解：依题意，共线的三点组可以分为三类：

（1）两端点皆为顶点的共线三点组，共有=28（个）；

（2）两端点皆为面的中心的共线三点组，共有=3（个）；

（3）两端点皆为各棱中点的共线三点组，共有=18（个）

所以总共有28+3+18=49（个）。

五、分类讨论思想在数列中的应用

例5.已知数列1，2x，3x2，4x2，……，求它的前n项和.

分析：本题未指明数列为等比数列，所以分类讨论时还要考虑x=0这一情况.

解：设Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

（1）当x=0时，Sn=1；

（2）当x=1时，Sn=1+2+3+…+n=；

（3）当x≠0且x≠1时，

由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

得xSn=x+2x2+3x3+…+（n-1）xn-1+nxn，

两式相减：

（1-x）Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=-nxn，

∴Sn=.

综上所述：

Sn=1，（x=0）

（x=1）

，（x≠0且x≠1）.

通过探讨分类讨论思想在中学数学中集合、函数、不等式，排列组合等中的应用，我们应用正确的分类讨论思想，对不同情况进行分类研究，使问题化整为零，各个击破，再积零为整，从而使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.所以，在教学中教师应该渗透分类讨论的思想，让学生充分感受并掌握这种思想.

[1]辜蔚君.关于人力资源数字化转型中数据管理工作的思考[J].厦门科技, 2023(1):43-47.