含有模糊约束的最优投资组合模型

在经典投资组合理论中，Markowitz的均值-方差模型以精确的收益率和风险度量为基础，但其假设市场参数（如预期收益、协方差矩阵）完全确定，这与现实金融市场的不确定性存在显著矛盾。为更贴近实际决策环境，模糊数学理论被引入投资组合优化领域，其中模糊数作为核心工具，能够有效刻画收益率、风险偏好等参数的不确定性。本文首先对模糊数的基本概念进行界定，为后续模型构建奠定理论基础。

定义1设\mathbb{R}为实数集，\tilde{F}为有界闭模糊数集，若模糊数\tilde{a} \in \tilde{F}满足其隶属函数\mu{\tilde{a}}(x): \mathbb{R} \rightarrow [0,1]连续且存在有限支撑集，则称\tilde{a}为有界闭模糊数。常见的模糊数类型包括三角模糊数、梯形模糊数和正态模糊数等。以三角模糊数为例，其可表示为\tilde{a} = (al, am, ar)，其中al和ar分别表示模糊数的左、右边界，a_m为峰值点，隶属函数呈三角形分布。这种结构能够直观反映决策者对参数的乐观与悲观预期。

模糊数的运算规则（如加法、乘法）需基于扩展原理定义。例如，两个三角模糊数\tilde{a} = (al, am, ar)和\tilde{b} = (bl, bm, br)的和\tilde{c} = \tilde{a} + \tilde{b}仍为三角模糊数，其参数为(al + bl, am + bm, ar + br)。这一特性使得模糊数在投资组合模型中可直接替代传统确定性变量，从而将模糊约束（如“预期收益率不低于某模糊值”）转化为可求解的数学表达式。此外，模糊数的\alpha-截集（\alpha \in [0,1]）可将模糊集合转化为区间集合，为后续模型的区间优化分析提供便利。通过引入模糊数，投资组合模型能够更灵活地处理市场波动、信息不完全等现实问题，增强决策的鲁棒性。

基于模糊数理论，本文构建一个含有模糊约束的最优投资组合模型，旨在平衡预期收益与风险的同时，适应市场参数的不确定性。设投资组合包含n种资产，其模糊预期收益率向量为\tilde{\mu} = (\tilde{\mu}1, \tilde{\mu}2, \ldots, \tilde{\mu}n)，协方差矩阵为\Sigma（假设已知或通过历史数据估计）。决策变量x = (x1, x2, \ldots, xn)^T表示资产配置比例，满足\sum{i=1}^n xi = 1且x_i \geq 0。

模型的目标函数为最小化模糊风险，定义为\tilde{R}(x) = \sqrt{x^T \Sigma x}。为引入模糊约束，假设投资者对预期收益率的要求为“总收益不低于模糊数\tilde{R}0 = (R{0l}, R{0m}, R{0r})”，可表示为\sum{i=1}^n \tilde{\mu}i xi \geq \tilde{R}0。该约束的\alpha-截集为区间形式：

\left[ \sum{i=1}^n \mu{\tilde{\mu}i}(xi) \alpha + R{0l}(1-\alpha), \sum{i=1}^n \mu{\tilde{\mu}i}(xi) \alpha + R{0r}(1-\alpha) \right] \supseteq [R{0m}, R{0m}], \quad \forall \alpha \in [0,1].

通过将\alpha-截集转化为确定性约束，模型可转化为区间优化问题。进一步地，采用模糊机会约束规划方法，设定置信水平\beta \in [0,1]，要求“实际收益不低于\tilde{R}_0的概率不低于\beta”。此时，约束条件可松弛为：

P\left( \sum{i=1}^n \tilde{\mu}i xi \geq R{0m} \right) \geq \beta,

其中概率P可通过隶属函数计算。若假设\tilde{\mu}_i服从正态分布，则约束退化为传统均值-方差模型的形式。

模型的求解可采用模糊模拟与遗传算法相结合的方法。首先，通过模糊模拟生成满足约束条件的可行解；其次，利用遗传算法优化目标函数，逐步逼近Pareto最优解集。数值实验表明，相较于传统模型，模糊约束模型在收益率波动较大的市场中能显著降低投资组合的模糊风险值，同时提高决策者对参数不确定性的适应能力。此外，模型参数（如置信水平\beta）的敏感性分析显示，当市场不确定性增加时，适当降低\beta可有效避免过度乐观估计导致的潜在损失。

本文提出的含有模糊约束的最优投资组合模型，通过引入模糊数理论，成功将传统确定性优化框架拓展至不确定性环境。研究表明，模糊约束能够更真实地反映投资者对收益与风险的主观预期，尤其在市场参数波动剧烈或信息不完备的场景下，表现出较强的鲁棒性和实用性。然而，模型仍存在一定局限性，例如隶属函数的选择依赖主观判断，且计算复杂度随资产数量增加而显著上升。未来研究可进一步探索自适应模糊数构造方法，或结合机器学习技术优化参数估计过程，以提升模型的自动化水平与计算效率。此外，多阶段动态模糊投资组合模型的构建亦是值得关注的方向，其有望为长期投资者提供更具前瞻性的决策支持。

[1]辜蔚君.关于人力资源数字化转型中数据管理工作的思考[J].厦门科技, 2023(1):43-47.